Proporción 1:√2: las matemáticas detrás del A4
Todos los formatos de papel ISO tienen una proporción de 1 a √2, aproximadamente 1 a 1,414. Solo con esta proporción una hoja cortada por la mitad conserva la misma forma que la hoja entera. Un error muy extendido es creer que el A4 es 5 a 7. Ningún formato ISO tiene esa proporción.
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¿Por qué precisamente √2?
Toma una hoja con un lado corto de 1 y un lado largo de x. Córtala por la mitad a lo ancho del lado largo y la nueva hoja tendrá lados de x/2 y 1. Para que ambas hojas tengan la misma forma:
x : 1 = 1 : x/2
De ahí sale que x² = 2, es decir, x = √2 ≈ 1,41421. No hay otra solución. Cualquier otro rectángulo cambia de forma al partirlo en dos y se vuelve más estilizado o más achatado.
Cómo calcular cualquier formato A
Porstmann también estableció que el A0 tiene una superficie de un metro cuadrado. Si a es el lado corto, a × a√2 = 1 m². De ahí:
- A0
- lado corto = 1 / ⁴√2 m ≈ 0,8409 m, lado largo = ⁴√2 m ≈ 1,1892 m
- An en general
- lado corto = 2−(2n+1)/4 m, lado largo = 2−(2n−1)/4 m
- Ejemplo A4 (n = 4)
- 2−9/4 m = 0,2102 m y 2−7/4 m = 0,2973 m, redondeado a 210 × 297 mm
- Serie B
- el B0 tiene un lado corto de 1 m, Bn = 2−n/2 m × 2−(n−1)/2 m
- Serie C
- la media geométrica de los formatos A y B con el mismo número
La norma redondea hacia abajo a milímetros enteros. Por eso el A5 (la cuartilla), con 148 mm, es un poco más corto que la mitad exacta del A4 (148,5 mm).
Los factores de la copiadora
Como todos los formatos comparten la misma forma, cualquiera se puede ampliar o reducir a otro sin márgenes y sin recortes. Subir un paso supone un factor de √2, bajar un paso, 1/√2.
| Pasos | Ampliar | Reducir | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| 1 | 141 % | 71 % | A4 a A3, A3 a A4 |
| 2 | 200 % | 50 % | A5 a A3, A3 a A5 |
| 3 | 283 % | 35 % | A4 a A1 |
| 4 | 400 % | 25 % | A4 a A0 |
La tabla completa con todas las combinaciones de A0 a A10 está en la calculadora del factor de escala.
Otras proporciones comparadas
| Formato | Proporción | En decimal |
|---|---|---|
| A4 | 1 : √2 | 1,414 |
| US Letter | 8,5 : 11 | 1,294 |
| US Legal | 8,5 : 14 | 1,647 |
| Película de 35 mm, foto 10 × 15 | 2 : 3 | 1,5 |
| Foto de móvil | 3 : 4 | 1,333 |
| Pantalla panorámica | 9 : 16 | 1,778 |
| Proporción áurea | 1 : φ | 1,618 |
Los formatos ISO quedan, por tanto, entre el achatado Letter y la alargada proporción áurea. A menudo se lee que el A4 sigue la proporción áurea. No es así: 1,414 y 1,618 son claramente distintos.
Compruébalo tú mismo
Dobla una hoja A4 de forma que el borde corto quede sobre el borde largo. Obtienes un triángulo y un cuadrado. La diagonal de ese cuadrado, que es el borde doblado, mide exactamente lo mismo que el lado largo de la hoja. Es la descripción de Lichtenberg de 1786, y puedes probarla con cualquier folio de tu impresora.
Preguntas frecuentes
¿Qué proporción tiene el A4?
1 a √2, aproximadamente 1 a 1,414. Las medidas 210 × 297 mm dan 1,414.
¿El A4 tiene una proporción 5:7?
No. 5 a 7 es 1,4. Los formatos ISO son 1 a √2, es decir, 1,414. Ningún formato ISO tiene una proporción 5:7.
¿El A4 sigue la proporción áurea?
No. La proporción áurea es 1,618 y el A4, 1,414.
¿Por qué se copia de A3 a A4 al 71 %?
Porque 1/√2 ≈ 0,707. Bajar un paso siempre supone este factor.